(유체역학)Navier-Stokes 방정식의 수치해

Navier-Stokes 방정식의 수치해

공기 속을 초음속으로 비행하는 항공기나 탄환, 바다 속에서 움직이는 잠수함 그리고 도로 위를 달리는 자동차의 주위에는 이들의 움직임으로 생성되는 유체의 흐름이 있다.

이러한 유체의 움직임은 그 자체로서 끝나는 것이 아니라 움직이는 물체의 상태에도 영향을 끼친다. 예를 들면 항공기 표면의 온도에 영향을 준다든지 자동차의 디자인에 영향을 준다. 따라서 물체 표면에서의 압력, 밀도, 속도와 온도의 분포를 알기 위하여는 유동장의 모든 점에서 유동 성질들인 압력, 밀도, 속도와 온도를 계산해 내면 그 결과로 물체에 작용하는 힘(양력 또는 항력)이나 모멘트 그리고 표면에서의 열의 전달을 계산할 수 있다.

이와 같은 실제 데이터를 얻으려면 유체(액체 또는 기체)내에 작용하는 힘의 본질을 파악해야 한다. 그러기 위해서는 유체의 유동을 지배하는 기본 방정식을 유도하고 적절한 초기조건이나 경계조건을 만족하는 해를 구해야 한다. 여기서 기본방정식은 물리적 기본법칙을 이용하여 압력, 밀도, 속도와 온도를 미지수로 하는 미분방정식이며, 이때 가장 중요한 기본 방정식은 나비어-스톡스 방정식과 이 방정식의 비점성 극한 방정식인 오일러(Euler) 방정식이다.

이들 방정식에 일차원 또는 이차원 문제에 대한 제한적인 해의 존재성 및 해의 성질들에 대해서는 일부 밝혀져 있지만, 3차원에서의 이들 해의 존재성 및 수치해에 대한 것은 그리 많이 알려져 있지 않다. 알려진 일차원 또는 평면에서의 해의 성질을 실제 상황과 비슷한 3차원으로의 확장은 매우 중요하다.

예를 들면 3차원 나비어-스톡스 방정식의 해를 구함으로써, 헬리콥터가 비행할 때 고립된 회전 날개계(isolated rotor-blade system)에 의해 형성되는 회전, 점성, 와류, 박리 등의 복잡한 유동장을 계산할 수 있다. 이러한 것은 헬리콥터 날개의 디자인에 중요하게 적용되며 또한 효율적인 자동차의 차체를 디자인 하는데에 응용된다. 또한 나비어-스톡스 방정식 형태는 일차원 쌍곡형 편미분방정식과 아울러 교통량의 흐름에 대한 모델 방정식으로 이용되어 교통문제의 해결에 열쇠를 쥐고 있다. 그런데 교통의 흐름은 도로의 구조, 노면의 상태, 차량의 종류 등 여러 가지 기계적인 요인 외에도 운전자들의 습관과 운전 경력의 다소와 같은 인적 요인에 의해서도 영향을 받기 때문에 각 차량의 움직임을 예측하는 것은 쉽지 않다. 하지만 일차원 도로에서 많은 수의 차량은 상호간에 영향을 끼치며 교통 흐름을 구성하기 때문에 교통흐름은 많은 운전자들의 평균적인 특성에 의해 결정되고 이 경우 교통의 흐름은 일정한 특성을 가지게 된다. 차량 하나하나의 움직임을 유체역학적 기술방법을 사용해 유량과 속력을 공간적으로 연속적인 값을 갖는 것으로 보고 밀도 관계로서 정의한다.

이 변수들의 시간에 따른 변화는 차량 대수의 보존을 나타내는 연속식(continuity equation)과 운동방정식(equation of motion)으로 기술하면 유체역학에서 널리 쓰이는 나비어-스톡스 방정식과 거의 동일한 기본 방정식이 만들어진다. 또한 혈관 속에서의 피의 흐름도 Navier-Stokes 방정식으로 나타남을 이용하여 의공학에 적용되고 있다.

오늘날 항공과학, 기상학, 수리학, 석유산업과 플라즈마 물리 등에서 나비어-스톡스 방정식의 이론적 연구가 진행되고 있다. 기계공학의 관점에서 보면 나비어-스톡스 방정식은 스트레스와 변형률 사이의 국소적 선형관계를 가정하고 유도된 본질적으로는 간단한 방정식이지만 방정식에 나타나는 비선형 항 때문에 수학적 관점에서 보면 결코 간단한 방정식이 아니다.

Navier-Stokes 방정식의 복잡성으로 인하여 수학적으로 매우 복잡하여 오랫동안 유체역학적 문제들을 해결하는데 실질적인 기여를 하지 못했다. 이런 이유로 각종 유동관련 기계장치들의 설계는 실험이나 근사적인 이론 해석에 의존할 수 밖에 없다가 20세기 중반 컴퓨터가 등장하면서 나비어-스톡스 방정식으로부터 유동장의 정확한 예측을 이끌어내려는 학자들의 오랜 꿈은 실현되기 시작했다. 해석적인 수학으로는 풀지 못하였던 이 방정식을 컴퓨터를 통해 수치적으로 해석할 수 있게 되었던 것이다. 물론 현대 고급 수학 이론을 나비어-스톡스 방정식에 적용하여 많은 결과를 얻었지만 아직도 해결해야 할 문제가 많이 남아 있다. 물론 기계공학의 영역에서도 수학과 마찬가지로 많은 문제가 남아 있다.


쉽게 말해.. 공기의 운동. 액체의 유동 ,소용돌이, 토네이도, 태풍

여러가지 유체들의 운동을 해석하기위해 만들어진 것입니다.

이처럼 아직 정확한 해를 구할수없는 풀리지않는 방정식중 하나입니다.

솔직히 유체운동 입자하나하나 해석하기가 장난아닌 문제거든여

온갖 난잡한 미적분이 들어가고 고도의 수학적 시각을 요구하는 문제이지요

유체역학강의 시간에 배웠는데. 아직 컴퓨터로도 구하기 힘들정도라고하더라군요

나비어와 스토크스란 사람이 동시에 유도해낸 미분방정식이구여

이 방정식을 만들어낸 자기자신조차.. 방정식의 해를 구하지 못했습니다.

식은 3개의 미분방정식과 미분연속방정식으로 이루어진 네개의 식과 네개의

미지수, u,v,w 그리고 p가 있습니다.

u = x방향의 속도벡터
v = y방향의 속도벡터
w= z방향의 속도벡터
p= 압력

클레이 연구소에서 일백만불 현상문제중 하나로 제기되어서 최근에 더욱 유명해

진 나비어-스토크스 문제의 해를위해 문제에 접근하려고 많은 수학적 도구들이

개발되어가고있다네여


방정식을 여기다가 기술하고싶지만 벡터로다 이루어진 미분방정식이라

표기할방법이없네여 원하신다면 쪽지주세여 연필로 써서 스캔떠서 드리겠습니다.